Ki-kare dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

ki-kare
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$k > 0\,$ serbestlik derecesi
Destek	$x \in [0; +\infty)\,$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	$\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,$
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF)	$\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,$
Ortalama	$k\,$
Medyan	yaklaşık olarak $k-2/3\,$
Mod	$k-2\,$ eğer $k\geq 2\,$
Varyans	$2\,k\,$
Çarpıklık	$\sqrt{8/k}\,$
Fazladan basıklık	$12/k\,$
Entropi	$\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$
Moment üreten fonksiyon (mf)	$(1-2\,t)^{-k/2}$ eğer $2\,t<1\,$
Karakteristik fonksiyon	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (χ2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.

Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.

x, $λ$ ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:

$f(x)= \frac{1}{\lambda^n \Gamma(n)} x^{n-1}e^{-\frac{x}{\lambda}} \qquad , x>0$ olur.

Burada $λ = 2$ ve $n = ν / 2$ alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, $ν$ serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve $\Chi _\nu ^2$ ile gösterilir.

x, $ν$ serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:

ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir $f(x)= \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}} \Gamma(\frac{\nu}{2})} x^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-x/2} \qquad ,x>0$ olur.

Teorem 1

$x\sim N(0,1)$ ise $x^2 \sim \Chi _1^2$ olur.

Teorem 2

$x_1 , x_2 , \cdots , x_n$ rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.

$y= \sum_{i=1}^n x_i^2$ ise $y \sim \Chi_n^2$ olur.

Teorem 3

$σ 2$ varyansı bilinen, $N (μ,σ 2)$ dağılımına sahip rasgele örneklem $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ve $s 2$ örneklem varyansı olmak üzere:
$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \Chi_{n-1}^2$ olur.

Konu başlıkları

1 Karakteristikleri
2 Özellikleri
- 2.1 Normal yaklaşım
- 2.2 Enformasyon entropisi
3 İlişkili dağılımlar
4 Ki kare kritik değerler tablosu
5 İçsel bağlantılar
6 Kaynak
7 Dışsal bağlantılar

[değiştir] Karakteristikleri

[değiştir] Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:

$f(x;k)= \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{eger}x>0,\\ 0&\text{eger }x\le0, \end{cases}$

Burada $Γ$ bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir.

[değiştir] Yığmalı dağılım fonksiyonu

Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

$F(x;k)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)} = P(k/2, x/2)$

burada $γ(k, z)$ aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu ve $P (k, z)$ ise tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu olur.

Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır.

[değiştir] Karakteristik fonksiyonu

Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:

$\chi(t;k)=(1-2it)^{-k/2}.\,$

[değiştir] Özellikleri

Ki-kare dagilimi cikarimsal istatistik analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans degeri guvenlik araligi ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsalik tablosu uzerinde bagimsizlik testi ve ki-kareye bagli ortaklilik katsayilari, uzaklik olculeri vb.
Varyanslar analizinde F-dagiliminin iki ki-kare dagiliminin oranindan ortaya cikmasi dolayisyla onemli rol oynamaktadir.

[değiştir] Normal yaklaşım

Eğer $X\sim\chi^2_k$ ise, limitte $k$ sonsuzluğa yaklaştıkca $X$ normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık $\sqrt{8/k}$ ve basıklık fazlalığı $12 / k$ olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:

Fisher isbat etmiştir ki $\sqrt{2X}$ ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması $\sqrt(2k-1)$ olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir.

Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılastırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken $z=\sqrt{X}$ in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir:

$\mu_z= \sqrt{2}\frac{\Gamma\left(k/2+1/2\right)}{\Gamma\left(k/2 \right)}$

$\sigma_z^2= k-\mu_z^2$

Burada $\Gamma(\cdot)$ bir Gamma fonksiyonudur. $μ z$ ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir ^[1]:

$\frac{\Gamma\left(N+1/2\right)}{\Gamma\left(N \right)}=\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}+ \frac{1}{128N^2}+\frac{5}{1024N^3}-\frac{21}{32768N^4}+\ldots\right).$

$N\gg 1$ olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur: $\frac{\Gamma\left(N+1/2\right)}{\Gamma\left(N \right)}\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}\right)\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{4N}\right)^{0.5}=\sqrt{N-1/4}.$

Sonra basitleşen moment karşılaştırılmasi sonuçları şu yaklaşık $z$ dağılımı verirler;

$z\sim{\mathcal N}\left(\sqrt{k-1/2},\frac{1}{2}\right)$ ,

Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:

$\sqrt{2X}\sim{\mathcal N}\left(\sqrt{2k-1},1\right)$ .

Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki $\sqrt[3]{X/k}$ ifadesi, ortalaması $1 - 2 / (9 k)$ ve varyansı $2 / (9 k)$ olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.

$k$ serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer $k$ olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:

$k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}.$

Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.

[değiştir] Enformasyon entropisi

Enformasyon entropisi ifadesi şöyle verilir:

$H = \int_{-\infty}^\infty f(x;k)\ln(f(x;k)) dx = \frac{k}{2} + \ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right) + \left(1 - \frac{k}{2}\right) \psi(k/2).$

Burada $ψ(x)$ bir Digamma fonksiyonudur.

[değiştir] İlişkili dağılımlar

Serbestlik derecesi 2ye eşit olan $X \sim \chi_2^2$ için $X \sim \mathrm{Ustel}(\lambda =\frac{1}{2})$ bir üstel dağılım olur.

Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan $X i ˜ N (0,1)$ değişkenleri için $Y = \sum_{m=1}^k X_m^2$ ise, $Y \sim \chi_k^2$ bir ki-kare dağılımı gösterir.

Eğer $X i ˜ N (μ i,1)$ dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde $Y = \sum_{m=1}^k X_m^2$ bir merkezsel olmayan ki-kare dağılımndan çıkartılmıştır.

$X \sim \textrm{Gamma}(\tfrac{\nu}{2}, 2)$ olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı $X \sim \chi^2_\nu$ bir gamma dağılımının özel halidir.

Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile $X_1 \sim \chi_{\nu_1}^2$ ve $X_2 \sim \chi_{\nu_2}^2$ birbirinden bağımsız iken $Y = \frac{X_1 / \nu_1}{X_2 / \nu_2}$ ise, $Y ˜F(ν 1,ν 2)$ bir F-dağılımı gösterir.

$Y = \sum_{m=1}^N X_m$ ifadesi icin $X m ˜χ 2 (ν m)$ değişkenleri bağımsız ve $\bar{\nu} = \sum_{m=1}^N \nu_m$ ise, o halde $Y \sim \chi^2(\bar{\nu})$ ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.

Eğer $X$ ki-kare dağılımı gösterirse, o halde $\sqrt{X}$ ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.

Özellikle, eğer $X \sim \chi_2^2$ (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde $\sqrt{X}$ ifadesi Rayleigh dağılımı gösterir.
Eğer $X_1, \dots, X_n$ bağımsiz ama aynı dağılımlı, yani hepsi $N (μ,σ 2)$ normal dağılım gösteren, rassal değişkenlerse, o halde

$\sum_{i=1}^n(X_i - \bar X)^2 \sim \sigma^2 \chi^2_{n-1}$

olur; burada $\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ dir.

Eğer $X \sim \mathrm{CarpikLogistik}(\frac{1}{2})\,$ , ise, o halde $\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \sim \chi_2^2\,$ olur.

**Çeşitli ki ve ki-kare dağılımları**
İsim	İstatistik
Ki-kare dağılımı	$\sum_{i=1}^k \frac{\left(X_i-\mu_i\right)^2}{\sigma_i^2}$
Merkezsel olmayan ki-kare dağılımı	$\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2$
Ki dağılımı	$\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}$
Merkezsel olmayan ki dağılımı	$\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}$

[değiştir] Ki kare kritik değerler tablosu

g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki² kritik değeri

+-----+-----------------------------------------------------------------------+
| \  α|                                                                       |
|  \  | 0.995  0.91   0.925  0.95   0.90   0.10   0.05   0.025  0.01   0.005  |
|g  \ |                                                                       |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+
|  1  |  0.00   0.00   0.00   0.00   0.02   2.71   3.84   5.02   6.63   7.88  |
|  2  |  0.01   0.02   0.05   0.10   0.21   4.61   5.99   7.38   9.21  10.60  |
|  3  |  0.07   0.11   0.22   0.35   0.58   6.25   7.81   9.35  11.34  12.84  |
|  4  |  0.21   0.30   0.48   0.71   1.06   7.78   9.49  11.14  13.28  14.86  |
|  5  |  0.41   0.55   0.83   1.15   1.61   9.24  11.07  12.83  15.09  16.75  |
|  6  |  0.68   0.87   1.24   1.64   2.20  10.64  12.59  14.45  16.81  18.55  |
|  7  |  0.99   1.24   1.69   2.17   2.83  12.02  14.07  16.01  18.48  20.28  |
|  8  |  1.34   1.65   2.18   2.73   3.49  13.36  15.51  17.53  20.09  21.95  |
|  9  |  1.73   2.09   2.70   3.33   4.17  14.68  16.92  19.02  21.67  23.59  |
| 10  |  2.16   2.56   3.25   3.94   4.87  15.99  18.31  20.48  23.21  25.19  |
| 11  |  2.60   3.05   3.82   4.57   5.58  17.28  19.68  21.92  24.72  26.76  |
| 12  |  3.07   3.57   4.40   5.23   6.30  18.55  21.03  23.34  26.22  28.30  |
| 13  |  3.57   4.11   5.01   5.89   7.04  19.81  22.36  24.74  27.69  29.82  |
| 14  |  4.07   4.66   5.63   6.57   7.79  21.06  23.68  26.12  29.14  31.32  |
| 15  |  4.60   5.23   6.26   7.26   8.55  22.31  25.00  27.49  30.58  32.80  |
| 16  |  5.14   5.81   6.91   7.96   9.31  23.54  26.30  28.85  32.00  34.27  |
| 17  |  5.70   6.41   7.56   8.67  10.09  24.77  27.59  30.19  33.41  35.72  |
| 18  |  6.26   7.01   8.23   9.39  10.86  25.99  28.87  31.53  34.81  37.16  |
| 19  |  6.84   7.63   8.91  10.12  11.65  27.20  30.14  32.85  36.19  38.58  |
| 20  |  7.43   8.26   9.59  10.85  12.44  28.41  31.41  34.17  37.57  40.00  |
| 21  |  8.03   8.90  10.28  11.59  13.24  29.62  32.67  35.48  38.93  41.40  |
| 22  |  8.64   9.54  10.98  12.34  14.04  30.81  33.92  36.78  40.29  42.80  |
| 23  |  9.26  10.20  11.69  13.09  14.85  32.01  35.17  38.08  41.64  44.18  |
| 24  |  9.89  10.86  12.40  13.85  15.66  33.20  36.42  39.36  42.98  45.56  |
| 25  | 10.52  11.52  13.12  14.61  16.47  34.38  37.65  40.65  44.31  46.93  |
| 26  | 11.16  12.20  13.84  15.38  17.29  35.56  38.89  41.92  45.64  48.29  |
| 27  | 11.81  12.88  14.57  16.15  18.11  36.74  40.11  43.19  46.96  49.64  |
| 28  | 12.46  13.56  15.31  16.93  18.94  37.92  41.34  44.46  48.28  50.99  |
| 29  | 13.12  14.26  16.05  17.71  19.77  39.09  42.56  45.72  49.59  52.34  |
| 30  | 13.79  14.95  16.79  18.49  20.60  40.26  43.77  46.98  50.89  53.67  |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+

Kaynak: Kritik değerler Italyanca Wikipedia için R (software) serbest programının qchisq( ,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur. ^[2]

Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.

χ²_α,g = 1/2 ( z_α + √(2g-1) )²

Burada z_α Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z_0,95 = 1,645 olur.)

[değiştir] İçsel bağlantılar

Cochran'in teoremi
Ters-ki-kare dağılımı
Serbestlik derecesi (istatistik)
Bağımsız sınamaları birleştirmek için Fisher'in yöntemi
Merkezsel olmayan ki-kare dağılımı

[değiştir] Kaynak

İngilizce Vikipedi'deki 5 Nisan 2008 tarihli chi-square_distribution maddesi

İtalyanca Vikipedi'deki 5 Nisan 2008 tarihli Variabile_casuale_chi_quadro maddesi

[değiştir] Dışsal bağlantılar

Ki-kare uyum-iyiliği sınaması ders notları

Yale University Stats 101 kodlu ders icin ornekler hipotez sinamasi ve parametre tahminleri konularini kapsar.

Ki-kare kritik değerleri için On-line hesaplayıcı, Vassar College Richard Lowry'nin istatistik web sitesinde.

Dağılımlar hesaplayıcısı Normal, Student'in t, ki-kare ve F dağılımları için olasılıkları ve kritik değerleri hesaplar.

Ki-kare kritik değerleri için Ki-kare hesaplayıcısı South Carolina Universitesi'nde R.Webster West'in Java applet deposunda

GraphPad tarafından hazırlanmış Ki-kare hesaplayıcısı

Ki-kare dağılımı için tablo

g • d
	Tek değişirli	Çok değişirli
Ayrık:	Benford · Bernoulli · Binom · Boltzmann · Kategorik · Bileşik Poisson · Ayrık faz tipi · Bozulmuş Gauss-Kuzmin · Geometrik · Hipergeometrik · Logaritmalı · Negatif binom · Parabolik fraktal · Poisson · Rademacher · Skellam · Ayrık tekdüze · Yule-Simon · Zeta · Zipf · Zipf-Mandelbrot	Ewens · Multinom · Çok değişirli Polya
Sürekli:	Beta · Beta prime · Cauchy · Ki-kare · Dirac delta fonksiyonu · Cox tipi · Erlang · Üstel · Üstel güç · F · Fermi-Dirac · Fisher'in z · Fisher-Tippett · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş hiperbolik · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Hotelling'in T-kare · Hiperbolik sekant · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare · Ölçeklenmiş ters ki-kare · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Ölçeklenmiş ters gamma · Kumaraswami · Landau · Laplace · Lévy · Lévy çarpık alfa-durağan · logistik · Log-normal · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hızı · Nakagami · Normal (Gauss tipi) · Normal-gamma · Normal ters Gauss-tipi · Pareto · Pearson · Faz-tipi · Kutupsal · Yükseltilmiş kosinus · Rayleigh · Relativistik Breit-Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Student'in t · sürekli tekdüze Üçgensel · Kesilmiş normal · Tweedie · 1.tip Gumbel · 2.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt · Von Mises · Weibull · Wigner yarımdaire · Wilks'in lambda	Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Ters-Wishart · Kent · Matris normal · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · Von Mises-Fisher · Wigner benzeri · Wishart
Çeşitli:	Çiftmodlu · Kantor · Koşullu · Denge · Üstel ailesi · Sonsuz bölünebilirlilik (olasılık) · Konum-ölçeği ailesi · Marjinal · Maksimum entropi · Sonsal · Önsel · Olasılık-benzeri · Örneklem · Singüler · Tekmodlu

"http://tr.wikipedia.org/wiki/Ki-kare_da%C4%9F%C4%B1l%C4%B1m%C4%B1" adresinden alındı.

Sayfa kategorisi: Sürekli olasılık dağılımları

Ki-kare dağılımı - Vikipedi